初めまして。みさわと申します。
みなさんに「分かりやすく、端的に」を意識してお伝えしていけたらいいなと思いますので、どうぞよろしくお願い致します。
早速、本題の方に入っていきましょう。今回は、「微分の操作はできるけど、応用の仕方が分からない」人に向けた記事です。
簡単なコツが一つ分かるだけでスラスラと解けるようになるので、是非ご覧ください！
微分をすると出てくる式の意味は？
まず、あなたは微分とはなにを求める操作かご存知ですか？
例えば、曲線S「f(x)=2x2-8x+9」を微分すると「f’(x)=4x-8」になりますよね。
では、f'(x)は何者なのでしょうか？f(x)とf’(x)ってどんな関係があるのでしょうか？
答えはズバリ
「f’(x)とは、任意のxにおけるSの接線の傾き」
になります。
例えば、S上の点(1,3)において接線l「y=ax+b」を引きます。
この時、lの傾きaは、f’(x)に1を代入したf’(1)=4-8=-4になります。
ご理解頂けましたか？
ちなみに、lは「傾き=-4」で「(1,3)を通る」ので、bをもとめることで「y=-4x+7」になりますね。
センター試験では、ここまでできれば、確実に点数UPすること間違いありません。
問題の解き方
それでは、例題をやってみましょう。
例題A.
＜問題＞
「f(x)=x2-9」の曲線上の点(4,7)で接線を引くとき、接線の式を求めよ。
＜解説＞
まずは接線の情報を知るために微分です。
f’(x)=2x
なので、接線の傾きは、これにx=4を代入してf’(4)=8です。
よって、接線は「傾きが8」で「(4,7)を通る」ので、y=8x-25になります。
Ans.y=8x-25
例題B.
＜問題＞
「f(x)=x3-4x2+3」の曲線上の点(1,0)で接線l1、点(0,3)で接線l2を引くとき、l1とl2の交点の座標を求めよ。
＜解説＞
少し難しくしましたが、やることは変わりません。
「l1とl2の式を求める → 連立方程式を解く」
これだけです。
まず微分すると、f’(x)=3x2-8xですね。
よってl1、l2の傾きはそれぞれf’(1)=-5、f’(0)=0になります。
そして、それぞれ(1,0)、(0,3)を通るので
l1: y=-5x+5
l2: y=3
という式が求められます。
あとはこの2直線の交点を求める、つまり連立方程式の解を求めればいいわけですね。
すると(2/5,3)という解が出るので、これが交点の座標になります。
Ans. (2/5,3)
ちなみに、例題Bは3次関数ですね。
微分を使えば3次関数の概略図を描くこともできるようになります。それについては別の記事で！
まとめ
微分で出てくる式は接線の傾きを示している。
接線は、「傾き」と「接点の座標」から式を求めることが出来る。
さて、みさわの初投稿はこんな感じでした。いかがでしたか。
質問、アドバイスなどございましたらお気軽にコメント頂ければ幸いです。
それではまた次の記事で。
