苦手でも分かる!順列「P」と組み合わせ「C」の使い分け|確率

場合の数と確率PとC

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どうも、ともよし(@T_ZettaiGokaku)です。

今日は、場合の数と確率で出てくる順列“P”と組み合わせ“C”の使い分けについての、PとCの使い分けがわからない人に向けた記事です。

ではさっそく、例題を見てみましょう。

 

順列・組み合わせの基本問題

5枚のカードを引いたときの確率を求める問題です。

確率の基本問題

1つ目の問題は、カードを1枚ずつ引いて、1枚目が1、2枚目が2である確率を求める、という問題。

“1枚ずつ引いて”というように、順番を気にするときは、順列Pを使って考えるのが一般的です。

 

また2つ目の問題は、カードを同時に2枚引いて、1と2を引く確率を求める、という問題。

“同時に”というように、順番を気にしないときは、組み合わせCを使って考えるのが一般的です。

 

それぞれ解いてみましょう。

 

順列を使う問題

解説はこちら。

順列の基本問題

確率を求めるには、分母に“すべての場合の数”、分子に“問題にあてはまる場合の数”を入れて計算します。

 

まずは、“すべての場合の数”を求めていきましょう。

順番を気にする問題では順列Pを使う、と言いましたが、Pは紛らわしいので使わなくてもOKです(組み合わせC大事)。

カードを1枚ずつ引いていくのを想像してください。

1枚目を引く時はカードが5枚あるので、5通りです。2枚目を引く時は残りのカードが4枚あるので、4通りです。なので、全ての場合の数は、5×4=20とおりです。

(↑これを5P2と書きますが、わざわざこう書く必要はありませんね。)

 

つぎに“問題にあてはまる場合の数”を求めましょう。

これは1枚目に1を、なおかつ2枚目に2を引く場合のみなので、1通りです。

 

よって、求める確率は1/20(20分の1)ですね。

 

組み合わせを使う問題

次は、順番を気にしない問題いきましょう。

 

パターンⅠ:組み合わせCを使って解く

解説はこちら。

組み合わせの基本問題

順番を気にしない=組み合わせを考えるときは、組み合わせCを使うのが便利です。

5枚のカードから2枚を引く組み合わせの数は、5C2で求められ、その値は分子に5×4、分母に2×1を書いて計算します。→すべての場合の数は10通り
(nCrなら、分子にn, n-1, n-2, …をr個かけ合わせたものを書いて、分母にr, r-1, r-2, …, 1をかけ合わせたものを書きます。)

問題にあてはまる場合の数は、1通りですね(組み合わせ =順番を気にしない =1,2も2,1も同じものと考える)。

よって求める確率は1/10。

 

パターンⅡ:組み合わせではなくあえて順列で解く

組み合わせCで解ける問題でも、順列を使って解いてもかまいません。

得意な方を使えばOKです(ただし、片方で解けば簡単だけど、もう一方で解くと難しい、という場合もあります→だから両方マスターする)。

次は順列を使って解いてみましょう。

解説はこちら。

組み合わせを順列で解く

 

あえて順番を気にします。順列でとくと決めたら、分母も分子も順番を気にしてください。

すべての場合の数は、5×4で20通りですね。

問題にあてはまる場合の数は、1→2 もしくは 2→1 の2通り。

よって求める確率は2/20=1/10です。

 

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